Space Exploration Technologies

Движение по параболической орбите

Параболу можно рассматривать и как предельный случай эллипса, и как предельный случай гиперболы. Для параболической орбиты выполняется условие
    V02 = 2*GM/r                                                                     (17)
Скорость V0 называется параболической, или второй космической скоростью VII. Сравнивая эту формулу с выражением (5) для первой космической скорости, можно заметить, что VII = VI* 21/2. При данном расстоянии r0 до притягивающего центра вторая космическая скорость - это минимальная скорость, необходимая для преодоления притяжения центрального тела. Для Земли (r0=6378.1 км) VII= 11.179 км/c. Для того, чтобы тело навсегда покинуло Солнечную систему, на расстоянии Земли (r0=149.6 млн. км) ему нужно придать скорость VIII= 42.1 км/с. Скорость VIII иногда называют третьей космической скоростью.

Уравнение параболической орбиты можно представить как зависимость радиус-вектра от фокального параметра p (или расстояния в перицентре q=p/2) и истинной аномалии u:
    r = p/(1+cos(u)) = q*sec2(u/2)                                     (18)

Уравнение движения по параболе - зависимость истинной аномалии u от времени t (и времени прохождения перицентра t) выглядит так:

    1/3*tg3(u/2) + tg(u/2) = (GM/2)1/2*q-3/2*(t -t)                (19)

В параболическом движении истинная аномалия меняется от -90њ до +90њ. При t = t (прохождение перицентра) u = 0 и радиус-вектор достигает минимального значения rmin = q = 2*p, а скорость - максимального V2max=G*M/q. При возрастании r до бесконечности скорость падает до нуля.

Зависимость фокального параметра p от начальных радиус-вектора r0 и  угла d0 между направлением радиус-вектора и направлением начальной скорости выражается следующим образом:

    p = 2*r0*sin2(d0)                                                           (20)

В предельном случае, при sin(d0)=0, парабола вырождается в полупрямую, выходящую из начала координат, которое является одновременно и вершиной, и фокусом вырожденной параболы.

Теперь в качестве примера применения теории эллиптического и параболического движения можно привести следующую задачу: сколько времени понадобится ракете, стартующей с земной орбиты с минимально необходимой начальной скоростью, чтобы удалиться от Солнца на 1 пк? Если представить орбиту параболической, то минимальная начальная скорость будет примерно равна VIII= 42.1 км/с, и, казалось бы, для решения задачи нужно просто разделить 1 пк на VIII, что составит 23228 лет. Однако нетрудно заметить, что это значение справедливо только при условии постоянного (в течении 23 тыс. лет!) поддержания скорости ракеты на уровне 42.1 км/c, т.е. работа двигателей должна постоянно компенсировать потерю кинетической энергии, связанную с преодолением притяжения Солнца. Если же ракета разгоняется вблизи орбиты Земли и дальше движется по инерции, то ее скорость будет постоянно уменьшаться, и поэтому время, затраченное на преодоление 1 пк, будет существенно больше. В этом случае проще будет взять эллиптическую орбиту с a=1 пк, тогда из (12) получим полный период обращения по такой орбите. Он составит 93.7 млн. лет, то есть искомое время (половина периода) будет около 46.8 млн. лет! Отсюда ясно, с какими трудностями сопряжена при современном развитии космической техники посылка аппарата даже к ближайшей звезде.