Space Exploration Technologies

Законы Кеплера и определение масс небесных тел

Эти три закона движения планет относительно Солнца были выведены эмпирически немецким астрономом И.Кеплером в начале 17 века и поэтому названы законами Кеплера. Они сыграли большую роль в установлении И.Ньютоном закона всемирного тяготения и вошли в небесную механику в обобщенном и уточненном виде. В такой форме они описывают орбиты двух гравитационно - связанных небесных тел при отсутствии возмущений со стороны других тел (т.н. задача двух тел). Формулировка законов Кеплера в общем случае приведена далее:

1-й закон. В невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка (эллипс, парабола или гипербола), в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения (или центр масс системы).

2-й закон (закон равных площадей). В невозмущенном движении площадь, описываемая радиус-вектором движущегося тела, измеряется пропорционально времени (в равные промежутки времени описывает равные площади).

3-й закон. В отличие от двух первых, применим только к эллиптическим орбитам. В обобщенном виде обычно формулируется так: квадраты периодов T1 и T2 обращения двух тел вокруг Солнца, помноженные на сумму масс каждого тела (соответственно M1 и M2), и Солнца (MS), относятся как кубы больших полуосей a1 и a2 их орбит:

    T12*(M1+MS) / T22*(M2+MS) = a13 / a23                            (1)
При этом взаимодействие между телами M1 и M2 не учитывается. Если пренебречь массами этих тел в сравнении с массой Солнца (M1 << MS , M2 << MS), то получится формулировка 3-го закона, данная самим И.Кеплером:
    T12 / T22 = a13 / a23                                               (2)
3-й закон Кеплера можно также выразить как зависимость между периодом T обращения по орбите тела с массой M и большой полуосью орбиты a (G - гравитационная постоянная):
    a3 / T2*(M + MS) = G2 / (4*p2)                   (3)
Однако необходимо сделать одно замечание. Для простоты часто говорится, что одно тело обращается вокруг другого, но это справедливо только для случая, когда масса первого тела пренебрежимо мала по сравнению с массой второго (притягивающего центра). Если же массы сравнимы, то следует учитывать и влияние менее массивного тела на более массивное. В системе координат с началом в центре масс орбиты обеих тел будут коническими сечениями, лежащими в одной плоскости и с фокусами в центре масс, с одинаковым эксцентриситетом. Различие будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы). Причем в любой момент времени центр масс будет лежать на прямой, соединяющей центры тел, а их расстояния до центра масс r1 и r2 тел массой соответственно M1 и M2 связаны следующим соотношением:
        r1 / r2  = M2 / M1
Перицентры и апоцентры (если орбиты замкнутые) своих орбит тела будут также проходить одновременно.