Space Exploration Technologies

Движение по эллиптической орбите

Рис. 5. Параметры эллиптической орбиты.

Для описания движения по эллиптической орбите необходим ряд специальных параметров [11]. На рис. 5 введены следующие обозначения: S - фокус эллипса, О - его центр, Р - перицентр, А - апоцентр, q = |SP| - расстояние в перицентре, a = |ОА| - большая полуось. Для произвольной точки В в момент времени t угол между ее радиус-вектором SB и направлением на перицентр SP - это истинная аномалия u (см. Элементы орбиты).

Теперь построим окружность радиуса а с центром в центре эллипса О и опустим перпендикуляр BN из точки В на линию апсид АР. Продолжение этого перпендикуляра пересечет окружность в точке B'. Угол при центре эллипса О между прямой OB' и линией апсид ОР называется эксцентрической аномалией Е. Как и истинная аномалия, Е измеряется от  0њ до 360њ в сторону движения.

Если обозначить через Т время полного оборота (период обращения) точки В по эллипсической орбите, то можно написать:  360њ = nT, или n=360њ/T, где n - это средняя угловая скорость движущейся точки, которая называется средним движением. Теперь представим себе некую фиктивную точку B'', движущуюся по окружности радиуса а с постоянной угловой скоростью n и проходящую через точку P (перицентр) одновременно с обращающейся по эллиптической орбите точкой В. Угол М, образуемый радиус-вектором OB" этой фиктивной точки и направлением на перицентр ОР, называется средней аномалией и отсчитывается от  0њ до 360њ в направлении движения точки В. Очевидно, что для произвольного момента времени t среднюю аномалию можно выразить через среднее движение n и время прохождения перицентра t: М = n*(t - t). При t = t (момент прохождения перицентра) u = E = M = 0њ, а при t = t + T/2 (момент прохождения апоцентра) u = E = M = 180њ.

Как уже упоминалось выше, эллиптическое движение осуществляется при условии V02 < 2*GM/r0 . Связь между различными параметрами эллиптической орбиты может быть выражена следующими соотношениями:

1. Между эксцентрической аномалией Е и средней аномалией М (уравнение Кеплера)
    E - e*sin(E)=M                                                               (7)
2. Между радиус-вектором r движущегося тела и эксцентрической аномалией
    r=a*(1-e*cos(E))                                                            (8)
3. Между скоростью V и радиус-вектором r
    V2=G*M*(2/r - 1/a)                                                         (9)
4. Между истинной аномалией и эксцентрической аномалией
    tg(u/2) = ((1+e)/(1-e))1/2*tg(E/2)                                       (10)
5. Между радиус-вектором и истинной аномалией
    r = a*(1-e2)/(1+e*cos(u))                                                  (11)

Как видно из (9), когда движущееся тело приходит в перицентр, его радиус-вектор достигает минимального значения q=a*(1-e), а скорость - максимального, определяемого формулой V2max=G*M/a*(1+e)/(1-e). В апоцентре, наоборот, радиус-вектор максимален Q=a*(1+e), а скорость движения минимальна V2min=G*M/a*(1-e)/(1+e). Отсюда можно получить, что Vmin/Vmax= (1-e)/(1+e) = q/Q. Формула для периода обращения по эллиптической орбите аналогична формуле (6) для круговой орбиты, только вместо радиуса орбиты берется ее большая полуось:

    T = 2*p*a3/2*(G*M)-1/2                                                     (12)

Определенный интерес также представляет зависимость параметров орбиты от начальных условий в некоторый момент времени: радиус-вектора r0 , скорости V0 и угла d0, образуемого радиус-вектором и направлением скорости [11]. Зависимости величины фокального параметра и эксцентриситета от начальных условий выглядят так:

    p = r02*V02*sin2(d0)/G/M                                                     (13)
    e = 1 + (r0*V02 - 2*G*M)*r0*V02*sin2(d0)/(G*M)2                  (14)

Из (13) следует, что что при возрастании угла d0 от 0њ до 90њ параметр p также растет от 0 до pmax = r02*V02/G/M, а когда d0 изменяется от 90њ до 180њ, p убывает от pmax до 0. При d0 = 0њ и d0 = 180њ параметр p = 0 и орбита вырождается в отрезок прямой.

Выражение e через начальные параметры из (14) зависит от знака разности r0*V02 - 2*G*M, который определяет тип орбиты. При r0*V02 - 2*G*M < 0 орбита всегда остается эллипсом, и при изменении угла d0 от 0њ до 90њ e уменьшается от 1 до emin = (r0*V02 - G*M)/G/M, а при увеличении d0 от 90њ до 180њ e снова увеличивается от emin до 1. Поскольку q = p/(1+e), то при увеличении d0 от 0њ до 180њ расстояние в перицентре q растет от 0 до r0.

Величину большой полуоси a и малой полуоси b также можно выразить через начальные параметры:
    a = G*M*r0/(2*G*M - r0*V02)                                              (15)
    b = a*(1-e2)1/2 = r03/2*V0*sin(d0)/(2*G*M - r0*V02)1/2              (16)

В предельном случае (при sin(d0)=0) эллипс вырождается в конечный отрезок прямой, длина которого равна 2*a и концы которого одновременно являются и фокусами, и вершинами вырожденного эллипса, причем один из его концов - перицентр - совпадает с началом координат, т.е. с притягивающим центром.